Diiiii: 一直对高维空间这个主题很感兴趣。最近人工智能和大模型很热，里面提到了很多“将知识压缩到高维隐空间”里的说法。数学层面上的高维空间相对比较容易理解，但到了物理层面上，高维就显得很不直观、难以想象。于是去读了加来道雄的经典《超越时空》，该书为理解高维空间、弦论乃至宇宙都提供了非常好的科普解读。所以，回到最关键的问题：如何能够更加直观、具象地理解一个高维空间？ 加来道雄说，高维空间是不可能用眼睛观察的 - 是的，再努力也没用。我们顶多可以做一些类比，例如德国物理学家亥姆霍兹(Hermann von Helmholtz) 把人们不能“看见”第四维和盲人不能想象颜色的概念相提并论。无论我们怎么滔滔不绝为盲人描述“红”颜色，但是用语言总是不能确切地把丰富的颜色告知盲人。（这就像是不具备多模态属性的大语言模型，虽然能够理解“红色”，但这个红色和真实世界的红色是无法对齐的。可见，大语言模型也很难真正理解训练数据之外的其他维度。） 另一个比较有道理的类比来自于绘画。如图所示，可以将古代的绘画看做是二维绘画，例如古埃及人的壁画，例如中世纪的巴约挂毯，把人脸和身体都画成了平面，好像被强行拍平了一样。文艺复兴发现了第三维，从人的视觉出发，用透视法画出全景式的实际的三维人。而之后的立体主义和抽象派画家们又完全抛弃了透视法，比如毕加索的《亚威农少女》，画中妇女们的脸可以同时从多个角度被观看，仿佛这些画是由某人从第四维中绘制的。同理，在杜尚的画《下楼梯的裸女》中，无穷多个时间序列里的人像重叠起来。如果时间是第四维的话，这就是一个四维人看人的方式。 目前为止，我看到的最形象的对“生物升维（时间升维）” 的解释， 来自于知乎答主niyoul（https://www.zhihu.com/question/40217873/answer/86836705）。他通过“在高维中扭曲空间让原本离散的A、B两点相交”的方法，非常形象地说明了升维的概念。例如： - 将一维直线上的A、B两点在二维空间里扭曲相交，那么对于一维生物来说，看到的就是某个物体同时出现在A、B两点的奇迹。如果一维是时间维而不是空间维，那么一维生物通过扭曲所经历的就是时间旅行； - 将二维平面上的A、B两点在三维空间里扭曲相交，对于二维生物来说，看到的就是某个物体同时出现在A、B两点的奇迹； - 将三维空间上某个双缝干涉实验里的A、B两点在四维空间（这里的第四维不是时间维而是空间维）里扭曲相交，此时在三维空间里的实验装置里向A点发射一个光子，对于三维的人类来说，看到的就是双缝实验中光子仿佛同时穿过A、B两点的奇迹，但对四维生物来说，它们只不过是折叠后的同一个点罢了，这就解释了波粒二象性的问题； - 将四维空间（3个空间维+1个时间维）中时间维t上的t1、t2两点在五维空间里扭曲相交，对于四维时空里的人类来说，看到的就是某个人从t2穿越回了t1的奇迹。如果t1、t2取的是这个人的出生时间点和死亡时间点，那么五维空间里t1、t2的循环就构成了这个人的轮回转世，而如果这个人恰好站在 t1 / t2 这个点上，他就同时处于生 / 死的状态，这就解释了薛定谔的猫； - 给四维空间（3个空间维+1个时间维t1）再增加一个时间维t2，对于人类来说相当于同时存在了两个时空，时空1（3个空间维+t1）和时空2（3个空间维+t2），这就解释了平行世界。如果在增加更多的时间维 tn，就变成了多世界理论； - … 上述的升维更多是时间上的升维，而另一种使用更多的解释方法是空间上的升维。例如，一个二维生物眼中的三维人体是怎么样的呢？由于他的二维眼睛能看到的是我们世界的平坦切面，对他而言，人看起来就像是个非常丑陋而恐怖的物体。首先，他可能看到两个皮圈在他前而盘旋(我们的鞋)。当他飘上去时，这两个圈改变了颜色并且转变成布料(我们的内裤)。然后这两个圈合并成一个圈(我们的腰)，接着又分裂成三个布圈而且又一次改变了颜色(我们的衬衫和胳膊)。当他继续往上飘浮时，这三个布圈合并为个较小的肉圈(我们的颈和头)。最后，这个肉圈变成一团毛发，接着当正方形先生飘过我们的头顶之后，一切都突然消失了。对正方形先生而言，这些神秘的“人”是可怕而又费解的混杂物的结合体，这些混杂物是一些由皮革、布料、肉和毛发组成的不断变化的圆圈。类似地，如果我们被剥离我们的三维宇宙且被扔进第四维中，我们将发现常识变得没用了。当我们飘浮通过第四维时，一团团黑乎乎的东西出现任我们的眼前。它们不断改变着颜色、大小和组成，不服从我们三维世界中的所有逻辑规则。它们消失得无影无踪，被刷的盘旋着的团块所代替。 （关于生物的升维，看到很多人在比喻时都提到，二维生物看到的是各种切面的形状。但根据我的理解，二维生物应该是看不到形状的，只能看到一条一条的线？但或许能够通过线上各点近大远小的线索来猜测其二维形状？但如果是这样的话，很多形状被前景线条挡住的部分应该是看不到的，所以二维生物只能看到有限的形状？换句话问，二维生物的眼睛究竟是一维的还是二维的？） 除此之外，还有一些其他的形象化高维空间的尝试： - 超立方体。本质上是在用投影的方法来理解高维空间，但个人不太能看懂； - 鲤鱼类比。加来道雄在书中的例子，有点像是二维生物的类比。“在池塘中的鲤鱼们看来，风吹雨打下的睡莲似乎是自己在运动，没有任何东西冲刷它们。因为就像我们看不见我们周围的空气和空间一样，鲤鱼们也看不见它们赖以生存的水，它们为睡莲自己能够运动而困惑不解。鲤鱼“科学家们”或许会聪明地杜撰某种虚构的东西——它被称为“力”，来掩盖自己的无知。由于不能理解在看不见的水面上存在的水波，它们将得出这样一个结论：睡莲之所以能够不被触摸而运动，是因为有一种看不见的神秘力在对它起作用。” - 魔术想像。想像两个分离的环不被折断就不能彼此通过而纠缠在一起，或者想像在没有切断绳子之前在封闭绳圈的一小段弧上打个结（没有任何魔术trick）。任何一个童子军都知道，绳圈上的纽结是不能被移动的。然而，在高维空间，纽结很容易被解开，环能纠缠在一起。这是因为有“更多的余地”来移动绳子使之彼此穿过，以及移动环圈，使之相互缠结。如果存在第四维，绳和环就能被逸出我们的宇宙，它们缠结在一起，然后重新回到我们的世界。事实上，在第四维中，纽结从来就没有被系住。纽结总是能在不切断绳子的情况下被解开。这种技艺在三维中是不可能的，然而在第四维中却很平常。正如业已查明的那样，第三维乃是纽结能保持打结的唯一的维。 - 莫比乌斯环。四维空间中，同样存在类似莫比乌斯环的东西。想像一下，人在四维空间里转了一圈，心脏就跑到了右侧。人的心脏生来就在左边，无论现任的技术如何高明，没有哪个外科医牛能改变人类内脏器官的位置。正如数学家默比乌斯(August Mobius)在1827年首次指出的那样，只有把我们的身体提离我们的宇宙之外这才有可能：在第四维中翻转身体，然后把它重新嵌入我们的宇宙。 - 烟雾思想实验。考虑一间密闭的屋子中香烟烟尘的运动。根据热力学定律，因为烟尘原子扩散到房子中所有可到达的地方，我们能确定是否有一些三维空间区域，其中没有烟分子。然而，实验观察表明并没有这样的隐秘区域。所以说，只有当空间第四维的线度比烟尘粒子的线度小时，空间第四维才是可能的。于是，如果第四维确实存在，那么它一定非常之小，甚至比原子还要小。因此，虽然三维宇宙中的所有物体都存住于第四维中，但是第四维较小，它避开了所有的实验观察。光就是看不见的第四维中的振动… 最后，还是非常推荐加来道雄的这本书，其核心思想是：自然规律，在高维中表达时可以变得更为简单。通过升维的方式，人类最终得到了“十维超弦理论”这样一个目前看来最有希望大一统的理论。升维的思想，对于我们日常的思考也非常有帮助。