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《中微子是什么子》（公众号小吴老吴文章）
查点资料，做点笔记。
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今天宣布的诺贝尔奖与中微子
今天诺贝尔物理学奖发下来了，给了82岁的Halzen。获奖理由是他牵头建了冰立方中微子天文台，还用它抓到了来自宇宙深处的高能中微子。一个人独享物理学奖，上回是2020年，再上回是1992年，那次也是搞粒子探测器的。
这个奖的源头是1988年，Halzen提出了一个想法：在南极冰底下埋传感器，抓中微子。当时多数同行的判断是这事注定失败。但他排除争议，从设想到建成，再从建成到拿奖，整整38年。
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每一秒都有上万亿个太阳中微子穿过人的身体
准确的数字还要大，百万亿量级。穿过去之后什么事都不发生，你不会发热，不会受伤，细胞甚至不知道有东西来过。地球对中微子来说基本是透明的，从脚底穿进来的和从头顶下来的数量差不多。一光年厚的铅墙，它都有很大概率直接穿过去，谁也挡不住中微子。
之所以这样，主要是因为中微子不带电，不参与电磁相互作用，只通过弱相互作用和引力跟物质打交道。弱相互作用的力程极短、概率极低，所以它近乎不存在。也正因为近乎不存在，它就成了宇宙里最可靠的信使，成为人类研究宇宙最梦想获得的工具之一。
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中微子是不是电子，到底是什么子？
跟电子是兄弟，不是同一种。你身边的物质，原子核里是质子和中子，它们都是由夸克组成的强子，核外面绕着电子。中微子和电子同属一类叫轻子的基本粒子，算是近亲。区别就一个：电子带电，被电磁力管着，所以会绕原子核转，会导电，会发光；中微子什么都不参与，只管自己飞。
中微子还分三种，电子型、μ子型、τ子型。1930年泡利提出它，纯粹是因为β衰变的能量账算不平，他宁可假设一个看不见的粒子也要保住能量守恒。一个为算平账本而“发明”的幽灵，26年后竟然真的被实验抓到了，科学就这么神奇。
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在冰里，中微子比光还快
这不是比喻，是诺贝尔奖所奖励的在南极的冰立方这台机器的立身之本。光进入冰里会变慢，慢到真空光速的四分之三左右。不是光子偷懒，是光不断被冰分子吸收再辐射，一来一回，队伍整体的速度就降下来了。中微子不跟冰分子打交道，穿过两公里的冰如履平地，全程接近真空光速。于是冰里出现一个反常画面：幽灵般的中微子跑赢了光。这个速度差正是探测器的开关。
中微子偶尔撞到冰里的原子核，撞出一个带电粒子，这个粒子继承了中微子的速度，在冰里跑得比冰中的光还快，发出一道微弱的蓝光，课本上叫切伦科夫辐射。冰里的5160个传感器捕的就是这道光，顺着它再反推中微子的能量和来向。向科学家致敬吧！
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南极的冰在搞什么
找中微子所需的一立方公里的探测介质人造不出来，也没人造得起，Halzen的想法是在南极造出来：南极冰层两公里多深处，冰纯净透明，地质稳定，没有地震，是现成的一立方公里，被他相中了。
用热高压水枪钻孔融冰，冰下1450米到2450米，放进86条缆绳，每条挂60个光学模块，14个国家450多人参与（中国大陆没有直接参与），2011年完工。南极的施工窗口只有每年夏天几个月，一年放不下去几条缆绳，就这么一年一年干出来了。
为什么要这么大的体积？因为中微子撞上的概率太低，只能靠数量堆，监测的物质够多，总能等到撞上的一次。2017年他们把一颗中微子追到40亿光年外的一个耀变体，人类第一次知道高能中微子是从哪来的。
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中微子极大延展了人类对宇宙的触觉
人类看宇宙，主要靠光。但光会被尘埃挡住，会被途中物质吸收。银河系中心后面有什么，我们其实根本看不见。但是，中微子不受这些影响，从产生那一刻起就直线飞行，黑洞旁边的事、伽马射线暴内部的事，它原封不动能带出来。
1987年有一次很说明问题：一颗超新星爆发，地球上的探测器比可见光早几个小时收到它的中微子！中微子从星核里直接跑出来了，光还在星体内部一层层往外挤。那一次全地球只抓到二十几个中微子，就拿了2002年诺贝尔物理学奖。二十几个粒子换一个诺奖，可见它带出来的信息有多值钱。
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宇宙大爆炸与中微子
光最远只能带我们看到大爆炸之后的38万年。科学家们的传说是，那之前宇宙是一锅不透明的等离子体，光子跑不出来，光学观测到这里就是尽头了。但中微子不受这个限制。大爆炸后产生的中微子，138亿年过去了，它们还在宇宙里穿行。要是能抓到，就比光学极限往前提了38万年。
可惜这批中微子飞得太久，被宇宙膨胀不断降温，能量低到现在的技术抓不住。它们是目前宇宙中唯一慢吞吞的中微子，其他中微子都还贴着光速跑。这批最古老也最慢的信使，算是留给后人的活。
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太阳的中微子丢过三分之二
太阳核聚变产生的是电子型中微子，但探测器收到的数量只有理论预言的三分之一左右。这个亏空困扰了学界三十多年，有人怀疑太阳模型错了，有人怀疑实验错了。
后来搞明白了，中微子在飞行途中会互相转换，三种中微子会来回变，学名叫中微子振荡。失踪的那些没丢，是变成了另外两种，老探测器认不出来。这件事的物理后果很大：三种能互相变，前提是中微子有质量，而旧版标准模型里中微子质量是零。一个公式错了一点，就漏掉了一种粒子的质量。2015年的诺贝尔物理学奖给的就是这个发现。
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暗物质可不是中微子
早年真有人这么怀疑过。因为星系的旋转速度快得反常，按可见物质产生的引力，外侧的恒星早该被甩飞了，但没有，说明有大量看不见的物质在提供引力，这就是传说中的暗物质的源起。既然中微子也看不见，会不会就是它？算完发现不是。
中微子跑得太快，接近光速，如果暗物质主要是中微子，宇宙的大尺度结构会先形成超大块再碎裂，跟实际观测到的星系成团方式对不上。而且中微子的总量也不够。
算下来的结果是，宇宙的质能里普通物质占5%，暗物质27%，剩下是暗能量。暗物质比中微子还要幽灵，中微子好歹参与弱相互作用，暗物质连这个都不参与，否则我们早该看到它了。几十年，全世界最深的地下实验室，一克都没抓到。
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中微子长什么样子？
我问AI这个问题结果被嘲笑了，它说这个问题不成立。微观尺度上没有样子这回事。电子不是一颗小球，是一团概率云，位置、形状这些属性只有在被测量时才被敲定，中微子也一样。问一个粒子长什么样，跟问一段旋律是什么颜色差不多。
人的感官是为三维空间里找吃的和躲天敌设计的，不为微观世界设计。但人的聪明就在于，虽然看不见电子，但能算出它的磁矩到小数点后十二位，跟实验分毫不差。泡利当年连中微子这个粒子本身都是算出来的。
看不见，但能算出来，不局限于身体的感官去感知世界，我觉得这是人类与其他动物最大的区别。
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人大脑中的一堆神经元就会产生意识，这事和中微子有关吗？
网上有说法把意识往量子效应上引，再往各种神秘粒子上引，中微子因为神出鬼没经常被拉来客串。但从物理上看，中微子几乎不跟物质发生任何作用，连穿过大脑都不会留下痕迹，更别说参与神经活动了。
意识这事目前的理解是神经系统的产物，就像火是燃烧的产物。不过，为什么一堆神经元会产生主观体验，这个所谓困难问题至今没有任何理论能真正回答，科学目前没证明有关系，但也没证明没关系啊。
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AI能拿到诺贝尔奖吗？
我觉得不会。但这话现在说可能有点满，至少目前看是这样的。AI在已知数据里找答案的能力已经很强了，中微子实验里用机器学习压本底、捞信号，本事已经超过传统方法。但在完全没有训练集、没有先例的事件中，似乎多数人认为AI还是不行，AI善于解决已知世界的各种问题，但似乎无法解决未知世界的未知。
Halzen一直有一个信念，就是中微子天文学应该存在。颁奖那天他在意大利，说自己正在写一份项目申请书，希望这个奖能帮他通过，全场笑了。82岁，刚拿诺奖，还在写申请书要经费。在证据为零的时候下注，用一生为一个可能失败的判断负责，就这样的事情，优秀的人类可以，但优秀的AI机器好像还没有这个本事。
是为中微子学习笔记。
查点资料，做点笔记。
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今天宣布的诺贝尔奖与中微子
今天诺贝尔物理学奖发下来了，给了82岁的Halzen。获奖理由是他牵头建了冰立方中微子天文台，还用它抓到了来自宇宙深处的高能中微子。一个人独享物理学奖，上回是2020年，再上回是1992年，那次也是搞粒子探测器的。
这个奖的源头是1988年，Halzen提出了一个想法：在南极冰底下埋传感器，抓中微子。当时多数同行的判断是这事注定失败。但他排除争议，从设想到建成，再从建成到拿奖，整整38年。
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每一秒都有上万亿个太阳中微子穿过人的身体
准确的数字还要大，百万亿量级。穿过去之后什么事都不发生，你不会发热，不会受伤，细胞甚至不知道有东西来过。地球对中微子来说基本是透明的，从脚底穿进来的和从头顶下来的数量差不多。一光年厚的铅墙，它都有很大概率直接穿过去，谁也挡不住中微子。
之所以这样，主要是因为中微子不带电，不参与电磁相互作用，只通过弱相互作用和引力跟物质打交道。弱相互作用的力程极短、概率极低，所以它近乎不存在。也正因为近乎不存在，它就成了宇宙里最可靠的信使，成为人类研究宇宙最梦想获得的工具之一。
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中微子是不是电子，到底是什么子？
跟电子是兄弟，不是同一种。你身边的物质，原子核里是质子和中子，它们都是由夸克组成的强子，核外面绕着电子。中微子和电子同属一类叫轻子的基本粒子，算是近亲。区别就一个：电子带电，被电磁力管着，所以会绕原子核转，会导电，会发光；中微子什么都不参与，只管自己飞。
中微子还分三种，电子型、μ子型、τ子型。1930年泡利提出它，纯粹是因为β衰变的能量账算不平，他宁可假设一个看不见的粒子也要保住能量守恒。一个为算平账本而“发明”的幽灵，26年后竟然真的被实验抓到了，科学就这么神奇。
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在冰里，中微子比光还快
这不是比喻，是诺贝尔奖所奖励的在南极的冰立方这台机器的立身之本。光进入冰里会变慢，慢到真空光速的四分之三左右。不是光子偷懒，是光不断被冰分子吸收再辐射，一来一回，队伍整体的速度就降下来了。中微子不跟冰分子打交道，穿过两公里的冰如履平地，全程接近真空光速。于是冰里出现一个反常画面：幽灵般的中微子跑赢了光。这个速度差正是探测器的开关。
中微子偶尔撞到冰里的原子核，撞出一个带电粒子，这个粒子继承了中微子的速度，在冰里跑得比冰中的光还快，发出一道微弱的蓝光，课本上叫切伦科夫辐射。冰里的5160个传感器捕的就是这道光，顺着它再反推中微子的能量和来向。向科学家致敬吧！
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南极的冰在搞什么
找中微子所需的一立方公里的探测介质人造不出来，也没人造得起，Halzen的想法是在南极造出来：南极冰层两公里多深处，冰纯净透明，地质稳定，没有地震，是现成的一立方公里，被他相中了。
用热高压水枪钻孔融冰，冰下1450米到2450米，放进86条缆绳，每条挂60个光学模块，14个国家450多人参与（中国大陆没有直接参与），2011年完工。南极的施工窗口只有每年夏天几个月，一年放不下去几条缆绳，就这么一年一年干出来了。
为什么要这么大的体积？因为中微子撞上的概率太低，只能靠数量堆，监测的物质够多，总能等到撞上的一次。2017年他们把一颗中微子追到40亿光年外的一个耀变体，人类第一次知道高能中微子是从哪来的。
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中微子极大延展了人类对宇宙的触觉
人类看宇宙，主要靠光。但光会被尘埃挡住，会被途中物质吸收。银河系中心后面有什么，我们其实根本看不见。但是，中微子不受这些影响，从产生那一刻起就直线飞行，黑洞旁边的事、伽马射线暴内部的事，它原封不动能带出来。
1987年有一次很说明问题：一颗超新星爆发，地球上的探测器比可见光早几个小时收到它的中微子！中微子从星核里直接跑出来了，光还在星体内部一层层往外挤。那一次全地球只抓到二十几个中微子，就拿了2002年诺贝尔物理学奖。二十几个粒子换一个诺奖，可见它带出来的信息有多值钱。
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宇宙大爆炸与中微子
光最远只能带我们看到大爆炸之后的38万年。科学家们的传说是，那之前宇宙是一锅不透明的等离子体，光子跑不出来，光学观测到这里就是尽头了。但中微子不受这个限制。大爆炸后产生的中微子，138亿年过去了，它们还在宇宙里穿行。要是能抓到，就比光学极限往前提了38万年。
可惜这批中微子飞得太久，被宇宙膨胀不断降温，能量低到现在的技术抓不住。它们是目前宇宙中唯一慢吞吞的中微子，其他中微子都还贴着光速跑。这批最古老也最慢的信使，算是留给后人的活。
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太阳的中微子丢过三分之二
太阳核聚变产生的是电子型中微子，但探测器收到的数量只有理论预言的三分之一左右。这个亏空困扰了学界三十多年，有人怀疑太阳模型错了，有人怀疑实验错了。
后来搞明白了，中微子在飞行途中会互相转换，三种中微子会来回变，学名叫中微子振荡。失踪的那些没丢，是变成了另外两种，老探测器认不出来。这件事的物理后果很大：三种能互相变，前提是中微子有质量，而旧版标准模型里中微子质量是零。一个公式错了一点，就漏掉了一种粒子的质量。2015年的诺贝尔物理学奖给的就是这个发现。
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暗物质可不是中微子
早年真有人这么怀疑过。因为星系的旋转速度快得反常，按可见物质产生的引力，外侧的恒星早该被甩飞了，但没有，说明有大量看不见的物质在提供引力，这就是传说中的暗物质的源起。既然中微子也看不见，会不会就是它？算完发现不是。
中微子跑得太快，接近光速，如果暗物质主要是中微子，宇宙的大尺度结构会先形成超大块再碎裂，跟实际观测到的星系成团方式对不上。而且中微子的总量也不够。
算下来的结果是，宇宙的质能里普通物质占5%，暗物质27%，剩下是暗能量。暗物质比中微子还要幽灵，中微子好歹参与弱相互作用，暗物质连这个都不参与，否则我们早该看到它了。几十年，全世界最深的地下实验室，一克都没抓到。
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中微子长什么样子？
我问AI这个问题结果被嘲笑了，它说这个问题不成立。微观尺度上没有样子这回事。电子不是一颗小球，是一团概率云，位置、形状这些属性只有在被测量时才被敲定，中微子也一样。问一个粒子长什么样，跟问一段旋律是什么颜色差不多。
人的感官是为三维空间里找吃的和躲天敌设计的，不为微观世界设计。但人的聪明就在于，虽然看不见电子，但能算出它的磁矩到小数点后十二位，跟实验分毫不差。泡利当年连中微子这个粒子本身都是算出来的。
看不见，但能算出来，不局限于身体的感官去感知世界，我觉得这是人类与其他动物最大的区别。
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人大脑中的一堆神经元就会产生意识，这事和中微子有关吗？
网上有说法把意识往量子效应上引，再往各种神秘粒子上引，中微子因为神出鬼没经常被拉来客串。但从物理上看，中微子几乎不跟物质发生任何作用，连穿过大脑都不会留下痕迹，更别说参与神经活动了。
意识这事目前的理解是神经系统的产物，就像火是燃烧的产物。不过，为什么一堆神经元会产生主观体验，这个所谓困难问题至今没有任何理论能真正回答，科学目前没证明有关系，但也没证明没关系啊。
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AI能拿到诺贝尔奖吗？
我觉得不会。但这话现在说可能有点满，至少目前看是这样的。AI在已知数据里找答案的能力已经很强了，中微子实验里用机器学习压本底、捞信号，本事已经超过传统方法。但在完全没有训练集、没有先例的事件中，似乎多数人认为AI还是不行，AI善于解决已知世界的各种问题，但似乎无法解决未知世界的未知。
Halzen一直有一个信念，就是中微子天文学应该存在。颁奖那天他在意大利，说自己正在写一份项目申请书，希望这个奖能帮他通过，全场笑了。82岁，刚拿诺奖，还在写申请书要经费。在证据为零的时候下注，用一生为一个可能失败的判断负责，就这样的事情，优秀的人类可以，但优秀的AI机器好像还没有这个本事。
是为中微子学习笔记。
31 41
我从小就认识游标卡尺，车、铣、刨、磨、锻也算耳熟能详，但人类的制造已经翻天覆地。
人类的微纳加工时代
20 00
《还是学数学好》
念书的时候曾在学校听过一次陈省身先生的公开课，当时主要是膜拜，具体内容早就忘了。学不好数学的原因也比较简单，就是学不会。后来做投资，工作原因见了不少科学家，知道这些年数学的进展很大，唯一保持不变的是，我还是学不会。
上周去上海交通大学，有机会听三位数学家讲了一上午，他们是做量子计算的，准确地说，是做量子计算底下的数学算法的。本周的笔记写点数学，但愿不要太丢院士老师一上午的培养。
一
今年7月23日，费城，国际数学家大会，菲尔兹奖颁给了四位数学家，其中两位是中国籍，邓煜和王虹。这是中国籍数学家第一次拿这个奖。王虹证明的是三维挂谷猜想，一个可以在所有方向里转动一根针的点集到底能有多小。邓煜的获奖工作，解的是希尔伯特第六问题里最难的那一段，我们重点说说邓煜。
1900年，希尔伯特在巴黎提了23个问题，给整个20世纪的数学定了议程。第六个问题的说法是，能不能把物理学公理化，就像欧几里得当年整理几何那样。落到最具体的地方是这么一件事：气体是亿万个分子组成的，每个分子都老老实实服从牛顿定律，台球一样碰撞。同样这团气体，在宏观上就不是这样了，而是服从的流体力学方程，有粘性，有湍流。微观和宏观是两套语言，各说各话一百多年，物理上是有说法解释的，但中间的逻辑链条能不能用严格的数学打通，这是希尔伯特第六问题的狭义版本，这个数学问题126年没人做完。
展开说一下，一立方米空气大约有10的25次方个分子，逐个追踪不可能。因此，玻尔兹曼1872年换了个描述对象：不追踪每个分子，只追踪一个分布函数，在任何一个位置附近、速度落在某个区间的分子占多大比例。听起来这是个好主意。他的方程描述这个分布怎么随时间演化，并从中推出一个结论，熵只能增加，不能减少，通俗来讲就是，热水和冷水混在一起永远不会自动分开，糖化进咖啡里再也收不回来，这就是宏观上的熵只能增加，不可逆。
这个结论一出来就被人抓住了把柄。洛施密特说，你的方程是从牛顿力学推出来的，可牛顿力学时间完全可逆，把所有分子的速度同时反转，整团气体就应该沿原路退回去吧。可逆的底层，怎么会长出不可逆的表层呢？是数学错了，还是物理错了？这个悖论吵了一百多年。
后来，玻尔兹曼对这个悖论的回答是，都没错，不可逆不是定律，只是个概率问题。他的意思是，分子全部自发跑回杯子左半边这种事，牛顿定律并不禁止，只是它对应的微观状态太少了，少到在宇宙的寿命里也不会发生一次。这是一种新的解释，好吧。他1906年去世，墓碑上刻着一行公式，S等于k乘以log W，即熵等于微观状态数的对数。这话的意思是，不可逆性来自我们放弃了追踪每个分子的能力，只看得见粗粒度的世界。信息并没有消失，只是散落进了我们够不着的自由度里。
优秀的北大年轻人邓煜，做的事情就是补上了这个问题最后的严格证明。他的工作把三个尺度连成了一条闭合的链：从单个分子服从的牛顿力学出发，在分子无穷多、无穷小的极限下，严格推出玻尔兹曼的统计方程，再从统计方程严格推出宏观的流体力学方程。微观世界的可逆，到底是怎样一步步变成宏观世界的不可逆的，中间的每一步从此都有了数学撑腰，这不再只是物理学家的直觉。微观属性和宏观属性，第一次在数学上被严格地打通了！
二
宏观那头的流体方程里，最有名的叫Navier-Stokes（中文里念：纳维斯托克斯），天气预报算的就是它。
1961年，麻省理工的气象学家洛伦兹用计算机跑一个简化的大气模型，有一次想复算一段结果，从中间存档重新输入，把一个数从0.506127四舍五入成0.506，千分之一的差别。两条曲线一开始几乎重合，几周之后彻底分道扬镳，看不出任何关系。这个系统是彻头彻尾确定性的，方程就摆在那里，给定一模一样的初值，永远跑出一模一样的结果。可它就是不可预测，因为初值的任何微小误差都会随时间指数放大，大约每两三天翻一倍。观测精度提高十倍，可预测的期限也就往后推几天，然后照样失控。这就是蝴蝶效应。
现代气象学的共识是，天气预报的理论极限大约两周，大体上，超过两周的预报就没有意义了。这不是技术问题，是数学性质。过去六十年，数值预报的有效时效大约每十年提高一天，靠更密的观测、更细的网格、集合预报，就是同时跑几十个微扰版本，看它们什么时候吵散。人类在天花板下面一寸一寸地拱，天花板纹丝不动。
天花板这么复杂，那是因为Navier-Stokes方程是非线性的。线性和非线性的分别，说起来一句话：线性方程的解可以叠加，两个解加起来还是解。这个性质意味着线性系统可以拆开算，任何复杂的波都能拆成一堆简单正弦波的叠加，逐个求解再加回来。热传导方程、电磁场的麦克斯韦方程、金融期权定价的Black-Scholes方程、量子力学的薛定谔方程，都是线性的。
非线性就是叠加原理失效，系统各部分互相纠缠。湍流、激波、混沌，全是非线性的孩子。拿流体来说，风会把风自己吹跑，空气的流动改变着流动本身，动量在流场里自我缠绕，大涡摔碎成小涡，能量还能在不同尺度间级联传递。这样的系统根本拆不开啊拆不开。
大气还不光是非线性流体，它还和海洋耦合，受地球自转的力，水蒸气凝结成云还要放热，反过来再改变气流。算湍流要算到足够小的尺度，即使模拟一秒钟的演化，数量级上，时间方向也要切10的9次方步，每一步里三维空间还要再打密网格。遇到上百维的问题，地球上最强的超算也算不动啊。
类似于天气预报的难度，做投资这些年，我常常觉得我们面对的问题也像一个非线性系统：变量极多，彼此相互作用，对初始条件敏感，对创始人的判断严重非标、社会、经济、周期和政策等各类多维的元素复杂交织，任何模型的预测超过一段期限就近似于猜了。我给数学家汇报了一下我们这个行业，我说给我们这个行业建个模算一算呗，数学家说，咱们还是聊天气预报吧……
由此我又想起来算力。今天人类对算力的狂热设想，从大模型到超算中心，底层都是同一种东西：经典的数字计算。它的数学属性是把连续的世界切成格子，一步一步逼近，格子可以越切越密，机器可以越堆越多，但问题是，数学性质不会因为机器变大而改变，混沌还是混沌。换句话说，现在的算力能把逼近做得更细，却并没有把人类原来不会算的问题变得会算，所以我隐约觉得当下因为涌现效应而带来的算力狂热一定还是有瓶颈的，只是这个瓶颈比较远一些。
三
换掉计算所依赖的物理规律，这个想法的源头在量子。量子是微观世界的存在方式，我们宏观生活里的一切经验和直觉在它面前都失效：一个微观粒子可以同时处在多个状态的叠加里，它的完整状态没法被直接观测，观测这个动作本身就会打断它，让叠加按概率塌成一个确定结果。量子的这些性质反常识（你理解不理解，他就是这么存在着），但不妨碍被利用。量子比特就是拿来承载这些性质的基本单元。
经典比特是0或者1，像地球仪上的南极和北极，二选一，N个经典比特同一时刻只能存一个数。量子比特是0和1的全部叠加，是整个球面上的点，N个量子比特同时在2的N次方维的空间里演化，几百个量子比特，态空间的维数就超过了宇宙的原子总数。1981年费曼正是看中这一点才提出，量子系统经典计算机算不了，干脆造一个本身就是量子的机器。
量子比特的演化有一条严格的规矩，叫酉演化，数学上就是旋转和翻转，向量长度不变。说白了，酉演化就是一个线性的、可逆的、不丢失任何东西的变化过程。中途不能看，一看就坍缩，叠加态按概率变成一个确定结果。所以量子程序的最后一步是测量，单次测量是概率性的，同一个程序要跑上千次，统计分布，取平均，那个平均数才是交回给经典世界的答案。
测量为什么不可逆，这个问题和熵增是同一个问题。量子系统一旦和外界接触，它的相位信息就在极短时间里弥散进环境的巨量自由度，只看系统本身，信息像丢了，坍缩发生了；要是能把环境的每一个自由度都抓回来，信息其实还在。量子的坍缩，就是粗粒化在量子世界里的样子，和玻尔兹曼说熵增是信息的散落，是同一件事。物理学里还有一条兰道尔原理，把这件事算成了账：每擦除一比特信息，必须向环境释放一份确定的热量，信息和熵在这里竟然可以画上等号了。世界底层的定律完全相通，我们只是站在宏观位置、只看得见粗粒度信息的观察者而已。
量子计算这些年发展很快，但集中攻关的问题其实很集中：密码学上的大数分解，量子化学和材料里的分子模拟，再就是搜索和优化那几类，都是天然长着量子结构或者特殊数学结构的问题。现实世界里端出来的大部分问题，流体、传热、金融定价、电磁仿真，量子机器反而插不上手。原因有两层。一是量子硬件只会做酉演化，也就是只会处理线性问题，而现实方程大多非线性的，就算线性也常带耗散、不可逆，这就难住量子计算了。第二，更要命的是量子力学有一条不可克隆定理，禁止复制一个未知的量子态，因为它未知，而非线性运算恰恰需要复制，要算u的平方，手里得有两份u才行。量子计算提出来四十多年，硬件突飞猛进了二十多年，能直接求解的问题，始终这么窄，卡的还是科学原理，还没有走到工程。
四
往前走一步，这几年数学家们发明了一套方法，叫薛定谔化，把现实世界的线性偏微分方程，不管带不带耗散，可不可逆，统一翻译成薛定谔方程的形式，也就是量子硬件唯一能听懂的语言。
这个翻译的直觉图像是这样的。二维地面上有一潭水，天热了蒸发了。站在二维世界看，水没了，能量耗散了，过程不可逆。升一维，到三维空间里看，水没有消失，它变成了云和雾，以另一种形态还在那里，什么都没丢，守恒严格成立。所以，你在自己的维度上看到的耗散从来不是真正的消失，只是跑到了看不见的维度里。薛定谔化做的就是这件事，给方程引入辅助变量，主动加一维，再做一个相位上的变换，原来那个耗散的、非酉的方程，在高一维的空间里变成一个标准的薛定谔方程，守恒、可逆、是波。数学上早就有这类思想的抽象祖先，任何收缩的过程都可以嵌入更大的空间里变成一个守恒的过程，这套方法等于把那个抽象定理变成了能在量子线路上跑的具体构造。
更妙的其实是成本。经典计算机里升维是灾难，三维变四维，内存就需要乘上一个天文数字。而量子计算机里，每多一个量子比特，能表示的空间翻一倍，升一维只消加几个比特。经典计算最怕的那个操作，恰好是量子硬件最便宜的操作。
一般的线性常微分、偏微分方程，这个框架已经都能进来了。剩下的硬骨头是非线性。路径只有一条，先把非线性方程精确地改写成线性方程，再薛定谔化。改写这件事不可能有通用办法，每个方程有每个方程的脾气，只能一个一个来，而且改写之后原来方程里的物理还不能丢。比如激波，飞机超音速时空气被压出一道突变，压力、密度在极薄的一层里跳变，用普通的线性化手段去改写，突变会被磨平，算出来的东西数学上通顺，物理上已经不是原来那回事了。
今年有一个工作，给一个叫Hamilton-Jacobi的方程找到了精确的改写办法。这个方程管的是最优路径和代价，金融里的最优控制、机器学习里的不少问题都归结到它。新的变换改写完，激波这类突变现象依然保持，任何时刻都对，这是第一个做到这点的结果。天气预报背后的Navier-Stokes方程，非线性更硬，目前还没有这样的变换，还在等。
五
那天上午也聊到AI。今年5月，OpenAI的一个通用推理模型自主证伪了埃尔德什1946年提出的单位距离猜想，平面上n个点，最多能有多少对距离恰好为1，八十年的老问题，证明写了125页，高尔斯这个级别的数学家核验过，说没问题。可是8月，下一代模型又构造出了反例，否定了关于sofic群的一批猜想。数学家群体的反应很复杂，陶哲轩、舒尔茨等十六位数学家联合发了一份宣言，核心担忧不是AI有没有创造力，而是AI生成证明的速度已经超过了人类验证的能力，数学这门学科的审稿机制可能要撑不住了。
AI做到的是什么，我的理解是，数学家做研究像一个人摸黑爬山，AI相当于千军万马同时去爬，总有几个人找到路。找构造、找反例这类问题，本质是搜索，搜索空间巨大但验证标准清楚，AI天然擅长。我有时脑洞大开在想，假如现在这般能力的AI出现在爱因斯坦和薛定谔出生的年代，它拥有的信息输入和当年的他们一模一样，它会发现相对论和量子力学吗？我自己的感觉好像是不会，但我还不确定。
六
好，那天上午我学到的数学的进展就是这些：微观和宏观之间一百多年的逻辑缺口被严格补上了，邓煜拿了菲尔兹奖；现实世界的线性方程有了统一翻译成量子语言的通用方法；AI开始独立产出被顶尖数学家承认的证明了。以及，天气预报还是不准，以后很长时间里也不会准到哪里去，但人类第一次非常清楚地知道了边界，并且每一条边界的外面，都有人在想办法。
数学我是学不会了。但知道这个世界上有一群绝顶聪明的大脑正在做着这么有趣的事情（而且应该无法被AI替代），还是能感到收获和快乐的。
顺祝各位中秋安康，如意！
念书的时候曾在学校听过一次陈省身先生的公开课，当时主要是膜拜，具体内容早就忘了。学不好数学的原因也比较简单，就是学不会。后来做投资，工作原因见了不少科学家，知道这些年数学的进展很大，唯一保持不变的是，我还是学不会。
上周去上海交通大学，有机会听三位数学家讲了一上午，他们是做量子计算的，准确地说，是做量子计算底下的数学算法的。本周的笔记写点数学，但愿不要太丢院士老师一上午的培养。
一
今年7月23日，费城，国际数学家大会，菲尔兹奖颁给了四位数学家，其中两位是中国籍，邓煜和王虹。这是中国籍数学家第一次拿这个奖。王虹证明的是三维挂谷猜想，一个可以在所有方向里转动一根针的点集到底能有多小。邓煜的获奖工作，解的是希尔伯特第六问题里最难的那一段，我们重点说说邓煜。
1900年，希尔伯特在巴黎提了23个问题，给整个20世纪的数学定了议程。第六个问题的说法是，能不能把物理学公理化，就像欧几里得当年整理几何那样。落到最具体的地方是这么一件事：气体是亿万个分子组成的，每个分子都老老实实服从牛顿定律，台球一样碰撞。同样这团气体，在宏观上就不是这样了，而是服从的流体力学方程，有粘性，有湍流。微观和宏观是两套语言，各说各话一百多年，物理上是有说法解释的，但中间的逻辑链条能不能用严格的数学打通，这是希尔伯特第六问题的狭义版本，这个数学问题126年没人做完。
展开说一下，一立方米空气大约有10的25次方个分子，逐个追踪不可能。因此，玻尔兹曼1872年换了个描述对象：不追踪每个分子，只追踪一个分布函数，在任何一个位置附近、速度落在某个区间的分子占多大比例。听起来这是个好主意。他的方程描述这个分布怎么随时间演化，并从中推出一个结论，熵只能增加，不能减少，通俗来讲就是，热水和冷水混在一起永远不会自动分开，糖化进咖啡里再也收不回来，这就是宏观上的熵只能增加，不可逆。
这个结论一出来就被人抓住了把柄。洛施密特说，你的方程是从牛顿力学推出来的，可牛顿力学时间完全可逆，把所有分子的速度同时反转，整团气体就应该沿原路退回去吧。可逆的底层，怎么会长出不可逆的表层呢？是数学错了，还是物理错了？这个悖论吵了一百多年。
后来，玻尔兹曼对这个悖论的回答是，都没错，不可逆不是定律，只是个概率问题。他的意思是，分子全部自发跑回杯子左半边这种事，牛顿定律并不禁止，只是它对应的微观状态太少了，少到在宇宙的寿命里也不会发生一次。这是一种新的解释，好吧。他1906年去世，墓碑上刻着一行公式，S等于k乘以log W，即熵等于微观状态数的对数。这话的意思是，不可逆性来自我们放弃了追踪每个分子的能力，只看得见粗粒度的世界。信息并没有消失，只是散落进了我们够不着的自由度里。
优秀的北大年轻人邓煜，做的事情就是补上了这个问题最后的严格证明。他的工作把三个尺度连成了一条闭合的链：从单个分子服从的牛顿力学出发，在分子无穷多、无穷小的极限下，严格推出玻尔兹曼的统计方程，再从统计方程严格推出宏观的流体力学方程。微观世界的可逆，到底是怎样一步步变成宏观世界的不可逆的，中间的每一步从此都有了数学撑腰，这不再只是物理学家的直觉。微观属性和宏观属性，第一次在数学上被严格地打通了！
二
宏观那头的流体方程里，最有名的叫Navier-Stokes（中文里念：纳维斯托克斯），天气预报算的就是它。
1961年，麻省理工的气象学家洛伦兹用计算机跑一个简化的大气模型，有一次想复算一段结果，从中间存档重新输入，把一个数从0.506127四舍五入成0.506，千分之一的差别。两条曲线一开始几乎重合，几周之后彻底分道扬镳，看不出任何关系。这个系统是彻头彻尾确定性的，方程就摆在那里，给定一模一样的初值，永远跑出一模一样的结果。可它就是不可预测，因为初值的任何微小误差都会随时间指数放大，大约每两三天翻一倍。观测精度提高十倍，可预测的期限也就往后推几天，然后照样失控。这就是蝴蝶效应。
现代气象学的共识是，天气预报的理论极限大约两周，大体上，超过两周的预报就没有意义了。这不是技术问题，是数学性质。过去六十年，数值预报的有效时效大约每十年提高一天，靠更密的观测、更细的网格、集合预报，就是同时跑几十个微扰版本，看它们什么时候吵散。人类在天花板下面一寸一寸地拱，天花板纹丝不动。
天花板这么复杂，那是因为Navier-Stokes方程是非线性的。线性和非线性的分别，说起来一句话：线性方程的解可以叠加，两个解加起来还是解。这个性质意味着线性系统可以拆开算，任何复杂的波都能拆成一堆简单正弦波的叠加，逐个求解再加回来。热传导方程、电磁场的麦克斯韦方程、金融期权定价的Black-Scholes方程、量子力学的薛定谔方程，都是线性的。
非线性就是叠加原理失效，系统各部分互相纠缠。湍流、激波、混沌，全是非线性的孩子。拿流体来说，风会把风自己吹跑，空气的流动改变着流动本身，动量在流场里自我缠绕，大涡摔碎成小涡，能量还能在不同尺度间级联传递。这样的系统根本拆不开啊拆不开。
大气还不光是非线性流体，它还和海洋耦合，受地球自转的力，水蒸气凝结成云还要放热，反过来再改变气流。算湍流要算到足够小的尺度，即使模拟一秒钟的演化，数量级上，时间方向也要切10的9次方步，每一步里三维空间还要再打密网格。遇到上百维的问题，地球上最强的超算也算不动啊。
类似于天气预报的难度，做投资这些年，我常常觉得我们面对的问题也像一个非线性系统：变量极多，彼此相互作用，对初始条件敏感，对创始人的判断严重非标、社会、经济、周期和政策等各类多维的元素复杂交织，任何模型的预测超过一段期限就近似于猜了。我给数学家汇报了一下我们这个行业，我说给我们这个行业建个模算一算呗，数学家说，咱们还是聊天气预报吧……
由此我又想起来算力。今天人类对算力的狂热设想，从大模型到超算中心，底层都是同一种东西：经典的数字计算。它的数学属性是把连续的世界切成格子，一步一步逼近，格子可以越切越密，机器可以越堆越多，但问题是，数学性质不会因为机器变大而改变，混沌还是混沌。换句话说，现在的算力能把逼近做得更细，却并没有把人类原来不会算的问题变得会算，所以我隐约觉得当下因为涌现效应而带来的算力狂热一定还是有瓶颈的，只是这个瓶颈比较远一些。
三
换掉计算所依赖的物理规律，这个想法的源头在量子。量子是微观世界的存在方式，我们宏观生活里的一切经验和直觉在它面前都失效：一个微观粒子可以同时处在多个状态的叠加里，它的完整状态没法被直接观测，观测这个动作本身就会打断它，让叠加按概率塌成一个确定结果。量子的这些性质反常识（你理解不理解，他就是这么存在着），但不妨碍被利用。量子比特就是拿来承载这些性质的基本单元。
经典比特是0或者1，像地球仪上的南极和北极，二选一，N个经典比特同一时刻只能存一个数。量子比特是0和1的全部叠加，是整个球面上的点，N个量子比特同时在2的N次方维的空间里演化，几百个量子比特，态空间的维数就超过了宇宙的原子总数。1981年费曼正是看中这一点才提出，量子系统经典计算机算不了，干脆造一个本身就是量子的机器。
量子比特的演化有一条严格的规矩，叫酉演化，数学上就是旋转和翻转，向量长度不变。说白了，酉演化就是一个线性的、可逆的、不丢失任何东西的变化过程。中途不能看，一看就坍缩，叠加态按概率变成一个确定结果。所以量子程序的最后一步是测量，单次测量是概率性的，同一个程序要跑上千次，统计分布，取平均，那个平均数才是交回给经典世界的答案。
测量为什么不可逆，这个问题和熵增是同一个问题。量子系统一旦和外界接触，它的相位信息就在极短时间里弥散进环境的巨量自由度，只看系统本身，信息像丢了，坍缩发生了；要是能把环境的每一个自由度都抓回来，信息其实还在。量子的坍缩，就是粗粒化在量子世界里的样子，和玻尔兹曼说熵增是信息的散落，是同一件事。物理学里还有一条兰道尔原理，把这件事算成了账：每擦除一比特信息，必须向环境释放一份确定的热量，信息和熵在这里竟然可以画上等号了。世界底层的定律完全相通，我们只是站在宏观位置、只看得见粗粒度信息的观察者而已。
量子计算这些年发展很快，但集中攻关的问题其实很集中：密码学上的大数分解，量子化学和材料里的分子模拟，再就是搜索和优化那几类，都是天然长着量子结构或者特殊数学结构的问题。现实世界里端出来的大部分问题，流体、传热、金融定价、电磁仿真，量子机器反而插不上手。原因有两层。一是量子硬件只会做酉演化，也就是只会处理线性问题，而现实方程大多非线性的，就算线性也常带耗散、不可逆，这就难住量子计算了。第二，更要命的是量子力学有一条不可克隆定理，禁止复制一个未知的量子态，因为它未知，而非线性运算恰恰需要复制，要算u的平方，手里得有两份u才行。量子计算提出来四十多年，硬件突飞猛进了二十多年，能直接求解的问题，始终这么窄，卡的还是科学原理，还没有走到工程。
四
往前走一步，这几年数学家们发明了一套方法，叫薛定谔化，把现实世界的线性偏微分方程，不管带不带耗散，可不可逆，统一翻译成薛定谔方程的形式，也就是量子硬件唯一能听懂的语言。
这个翻译的直觉图像是这样的。二维地面上有一潭水，天热了蒸发了。站在二维世界看，水没了，能量耗散了，过程不可逆。升一维，到三维空间里看，水没有消失，它变成了云和雾，以另一种形态还在那里，什么都没丢，守恒严格成立。所以，你在自己的维度上看到的耗散从来不是真正的消失，只是跑到了看不见的维度里。薛定谔化做的就是这件事，给方程引入辅助变量，主动加一维，再做一个相位上的变换，原来那个耗散的、非酉的方程，在高一维的空间里变成一个标准的薛定谔方程，守恒、可逆、是波。数学上早就有这类思想的抽象祖先，任何收缩的过程都可以嵌入更大的空间里变成一个守恒的过程，这套方法等于把那个抽象定理变成了能在量子线路上跑的具体构造。
更妙的其实是成本。经典计算机里升维是灾难，三维变四维，内存就需要乘上一个天文数字。而量子计算机里，每多一个量子比特，能表示的空间翻一倍，升一维只消加几个比特。经典计算最怕的那个操作，恰好是量子硬件最便宜的操作。
一般的线性常微分、偏微分方程，这个框架已经都能进来了。剩下的硬骨头是非线性。路径只有一条，先把非线性方程精确地改写成线性方程，再薛定谔化。改写这件事不可能有通用办法，每个方程有每个方程的脾气，只能一个一个来，而且改写之后原来方程里的物理还不能丢。比如激波，飞机超音速时空气被压出一道突变，压力、密度在极薄的一层里跳变，用普通的线性化手段去改写，突变会被磨平，算出来的东西数学上通顺，物理上已经不是原来那回事了。
今年有一个工作，给一个叫Hamilton-Jacobi的方程找到了精确的改写办法。这个方程管的是最优路径和代价，金融里的最优控制、机器学习里的不少问题都归结到它。新的变换改写完，激波这类突变现象依然保持，任何时刻都对，这是第一个做到这点的结果。天气预报背后的Navier-Stokes方程，非线性更硬，目前还没有这样的变换，还在等。
五
那天上午也聊到AI。今年5月，OpenAI的一个通用推理模型自主证伪了埃尔德什1946年提出的单位距离猜想，平面上n个点，最多能有多少对距离恰好为1，八十年的老问题，证明写了125页，高尔斯这个级别的数学家核验过，说没问题。可是8月，下一代模型又构造出了反例，否定了关于sofic群的一批猜想。数学家群体的反应很复杂，陶哲轩、舒尔茨等十六位数学家联合发了一份宣言，核心担忧不是AI有没有创造力，而是AI生成证明的速度已经超过了人类验证的能力，数学这门学科的审稿机制可能要撑不住了。
AI做到的是什么，我的理解是，数学家做研究像一个人摸黑爬山，AI相当于千军万马同时去爬，总有几个人找到路。找构造、找反例这类问题，本质是搜索，搜索空间巨大但验证标准清楚，AI天然擅长。我有时脑洞大开在想，假如现在这般能力的AI出现在爱因斯坦和薛定谔出生的年代，它拥有的信息输入和当年的他们一模一样，它会发现相对论和量子力学吗？我自己的感觉好像是不会，但我还不确定。
六
好，那天上午我学到的数学的进展就是这些：微观和宏观之间一百多年的逻辑缺口被严格补上了，邓煜拿了菲尔兹奖；现实世界的线性方程有了统一翻译成量子语言的通用方法；AI开始独立产出被顶尖数学家承认的证明了。以及，天气预报还是不准，以后很长时间里也不会准到哪里去，但人类第一次非常清楚地知道了边界，并且每一条边界的外面，都有人在想办法。
数学我是学不会了。但知道这个世界上有一群绝顶聪明的大脑正在做着这么有趣的事情（而且应该无法被AI替代），还是能感到收获和快乐的。
顺祝各位中秋安康，如意！
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